We can solve this problem using generating functions. Let $a_n$ be the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball. We can solve this by using the Principle of Inclusion-Exclusion (PIE). The total number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes is $k^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least one box is empty is $\binom{k}{1} \cdot (k-1)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least two boxes are empty is $\binom{k}{2} \cdot (k-2)^n$. The number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that at least three boxes are empty is $\binom{k}{3} \cdot (k-3)^n$. We can continue this pattern until we reach $\binom{k}{k} \cdot (k-k)^n = 1$. To find the number of ways to distribute the balls such that no box contains more than $1$ ball, we subtract the sum of the number of ways to distribute the balls such that at least one box contains more than $1$ ball, from the total number of ways to distribute the balls. Thus, the number of ways to distribute $n$ balls into $k$ boxes such that no box contains more than $1$ ball is $k^n - \binom{k}{1} \cdot (k-1)^n + \binom{k}{2} \cdot (k-2)^n - \binom{k}{3} \cdot (k-3)^n + \cdots + (-1)^{k-1} \cdot \binom{k}{k} \cdot (k-k)^n$. We can simplify this expression as follows: \begin{align*}
\sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} (k-i)^n &= \sum_{i=0}^{k} (-1)^i \binom{k}{i} \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
&= \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n} (-1)^{i+j} \binom{k}{i} \binom{n}{j} \binom{n-j}{k-i}\\
Мисля, че отговорът е $\binom{n+k-1}{k}$, но не съм сигурен как да го докажа. Зная, че броят на начините да разпределим $n$ различими обекти в $k$ различими кутии е $k^n$, но не съм сигурен как да го използвам тук.

Biko03 2019-02-25: Нека разгледаме броя на начините да разпределим $n$ обекта в $k$ кутии, така че нито една кутия да не е празна.
За да направим това, можем да използваме принципа на включването и изключването. Имаме $k$ избора за първия обект, $k-1$ избора за втория, $k-2$ избора за третия и т.н. Това ни дава $k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)$ начина да разпределим обектите в кутиите. Обаче това брои начините да разпределим обектите без да взимаме под внимание реда, в който са поставени в кутиите. Тъй като редът, в който са поставени обектите, не има значение, трябва да разделим на $n!$ за да коригираме за това преброяване. Така броят на начините да разпределим обектите е
$$\frac{k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)}{n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Броят на начините да разпределим обектите така, че всяка кутия да получи поне един обект, е тогава
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!}$$
Това се опростява до
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(1-\frac{n}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(\frac{k-n-1}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Така броят на начините да разпределим $n$ неразличими топки в $k$ различими кутии, така че всяка кутия да съдържа поне една топка, е $\boxed{\binom{k}{n}}$